- 等周不等式 周长为定值时，面积最大的封闭图形是圆
等周不等式 (Isoperimetric Inequality)，又称等周定理。它指出，在一个给定的周长下，面积最大的封闭图形一定是圆。
下面我们给出 Hurwitz 在1901年给出的等周不等式的证明。
这个证明基于格林定理和傅里叶级数。其核心逻辑是：将周长和面积的表达式用参数方程和傅里叶级数表示，通过代数不等式推导出周长与面积的关系式，并证明等号成立的条件是曲线为圆。
1. 问题设定与基本假设
Theorem (Isoperimetric Inequality). 设 $C$ 是平面上的简单闭曲线，其长度为 $L$，所围区域的面积为 $A$。等周不等式断言：
\[\begin{equation} L^2 \geq 4\pi A \end{equation}\]且等号成立当且仅当 $C$ 是圆。
2. 参数化与傅里叶展开
将曲线 $C$ 用弧长参数 $s$ 参数化，其中 $0 \leq s \leq L$。设曲线的参数方程为：
\[\begin{equation} \begin{aligned} x &= x(s)\\ y &= y(s) \end{aligned} \end{equation}\]由于 $s$ 是弧长参数，我们有：
\[\begin{equation} (x'(s))^2 + (y'(s))^2 = 1 \end{equation}\]将 $x(s)$ 和 $y(s)$ 展开为傅里叶级数：
\[\begin{equation} \begin{aligned} x(s) &= a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos\frac{2\pi ns}{L} + b_n \sin\frac{2\pi ns}{L}\right) \\ y(s) &= c_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(c_n \cos\frac{2\pi ns}{L} + d_n \sin\frac{2\pi ns}{L}\right) \end{aligned} \end{equation}\]3. 周长与面积的傅里叶表示
周长表达式
由于 $s$ 是弧长参数，我们有：
\[\begin{equation} \begin{aligned} L &= \int_0^L \sqrt{(x'(s))^2 + (y'(s))^2} ds \\ &= \int_0^L 1 \cdot ds \\ &= L \end{aligned} \end{equation}\]这给出了周长的基本表达式。
面积表达式（格林定理）
根据格林定理，曲线 $C$ 所围区域的面积为：
\[\begin{equation} \begin{aligned} A &= \frac{1}{2} \left\vert \oint_C (xdy - ydx) \right\vert \\ &= \frac{1}{2} \left\vert \int_0^L (x(s)y'(s) - y(s)x'(s)) ds \right\vert \end{aligned} \end{equation}\]4. 傅里叶系数的计算
计算导数 $x’(s)$ 和 $y’(s)$：
\[\begin{equation} \begin{aligned} x'(s) &= \sum_{n=1}^{\infty} \left( -\frac{2\pi n}{L} a_n \sin\frac{2\pi ns}{L} + \frac{2\pi n}{L} b_n \cos\frac{2\pi ns}{L} \right) \\ y'(s) &= \sum_{n=1}^{\infty} \left( -\frac{2\pi n}{L} c_n \sin\frac{2\pi ns}{L} + \frac{2\pi n}{L} d_n \cos\frac{2\pi ns}{L} \right) \end{aligned} \end{equation}\]5. 利用弧长条件
由弧长条件 $(x’(s))^2 + (y’(s))^2 = 1$，对 $s$ 从 $0$ 到 $L$ 积分：
\[\begin{equation} \int_0^L [(x'(s))^2 + (y'(s))^2] ds = L \end{equation}\]利用傅里叶系数的正交性（Parseval恒等式），得到：
\[\begin{equation} \begin{aligned} \int_0^L (x'(s))^2 ds &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\pi^2 n^2}{L^2} (a_n^2 + b_n^2) \\ \int_0^L (y'(s))^2 ds &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\pi^2 n^2}{L^2} (c_n^2 + d_n^2) \end{aligned} \end{equation}\]因此：
\[\begin{equation} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\pi^2 n^2}{L^2} (a_n^2 + b_n^2 + c_n^2 + d_n^2) = 1 \end{equation}\]即：
\[\begin{equation} \sum_{n=1}^{\infty} n^2 (a_n^2 + b_n^2 + c_n^2 + d_n^2) = \frac{L^2}{2\pi^2} \end{equation}\]6. 面积的计算
计算面积表达式：
\[\begin{equation} A = \frac{1}{2} \left\vert \int_0^L (x(s)y'(s) - y(s)x'(s)) ds \right\vert \end{equation}\]代入傅里叶展开式，利用正交性，得到：
\[\begin{equation} A = \pi \sum_{n=1}^{\infty} n (a_n d_n - b_n c_n) \end{equation}\]注意：这里我们取绝对值，因为面积总是正的。
7. 关键的不等式推导与维尔丁格不等式
现在考虑表达式：
根据前面的推导，我们有：
\[\begin{equation} \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} n^2 (a_n^2 + b_n^2 + c_n^2 + d_n^2) &= \frac{L^2}{2\pi^2} \\ A &= \pi \sum_{n=1}^{\infty} n (a_n d_n - b_n c_n) \end{aligned} \end{equation}\]因此：
\[\begin{equation} L^2 - 4\pi A = 2\pi^2 \sum_{n=1}^{\infty} n^2 (a_n^2 + b_n^2 + c_n^2 + d_n^2) - 4\pi^2 \sum_{n=1}^{\infty} n (a_n d_n - b_n c_n) \end{equation}\]重新整理：
\[\begin{equation} L^2 - 4\pi A = 2\pi^2 \sum_{n=1}^{\infty} \left[ n^2 (a_n^2 + b_n^2 + c_n^2 + d_n^2) - 2n (a_n d_n - b_n c_n) \right] \end{equation}\]这里的关键步骤是应用维尔丁格不等式（Wirtinger’s inequality）。
维尔丁格不等式的一种形式是：对于周期为 $2\pi$ 的零均值函数 $f(t)$，有
\[\begin{equation} \int_0^{2\pi} [f'(t)]^2 dt \geq \int_0^{2\pi} [f(t)]^2 dt \end{equation}\]在赫尔维茨的证明中，维尔丁格不等式体现在对傅里叶系数的处理上。具体来说，对于每个 $n$，我们有：
\[\begin{equation} n^2 (a_n^2 + b_n^2 + c_n^2 + d_n^2) - 2n (a_n d_n - b_n c_n) \geq 0 \end{equation}\]这个不等式可以通过维尔丁格不等式或者直接通过完全平方形式来证明：
\[\begin{equation} n^2 (a_n^2 + b_n^2 + c_n^2 + d_n^2) - 2n (a_n d_n - b_n c_n) = \frac{1}{2} \left[ (na_n - d_n)^2 + (nb_n + c_n)^2 + (nc_n - b_n)^2 + (nd_n + a_n)^2 \right] \geq 0 \end{equation}\]因此：
\[\begin{equation} L^2 - 4\pi A \geq 0 \end{equation}\]即：
\[\begin{equation} L^2 \geq 4\pi A \end{equation}\]8. 等号成立的条件
等号成立当且仅当对于所有 $n \geq 1$，都有：
\[\begin{equation} n^2 (a_n^2 + b_n^2 + c_n^2 + d_n^2) - 2n (a_n d_n - b_n c_n) = 0 \end{equation}\]根据完全平方形式，这等价于：
\[\begin{equation} (na_n - d_n)^2 + (nb_n + c_n)^2 + (nc_n - b_n)^2 + (nd_n + a_n)^2 = 0 \end{equation}\]这要求对于每个 $n$：
\[\begin{equation} \begin{aligned} na_n &= d_n, \quad nb_n = -c_n, \\ nc_n &= b_n, \quad nd_n = -a_n \end{aligned} \end{equation}\]从这些关系可以推导出：
\[\begin{equation} \begin{aligned} n^2 a_n &= -a_n, \quad n^2 b_n = -b_n, \\ n^2 c_n &= -c_n, \quad n^2 d_n = -d_n \end{aligned} \end{equation}\]对于 $n \geq 2$，这要求 $a_n = b_n = c_n = d_n = 0$。
对于 $n = 1$，我们有：
\[\begin{equation} \begin{aligned} a_1 &= d_1, \\ b_1 &= -c_1 \end{aligned} \end{equation}\]这意味着曲线是圆。具体来说，当只有 $n = 1$ 的傅里叶系数非零时，参数方程为：
\[\begin{equation} \begin{aligned} x(s) &= a_0 + a_1 \cos\frac{2\pi s}{L} + b_1 \sin\frac{2\pi s}{L} \\ y(s) &= c_0 - b_1 \cos\frac{2\pi s}{L} + a_1 \sin\frac{2\pi s}{L} \end{aligned} \end{equation}\]这表示一个圆，圆心在 $(a_0, c_0)$，半径为 $\sqrt{a_1^2 + b_1^2}$。
