实数集的完备性

一、完备性的直观理解

实数系的完备性（Completeness）是指实数轴上没有空洞。直观地说：

• 有理数系 $\mathbb{Q}$ 不完备 例如 $\sqrt{2}$ 不是有理数，有理数轴上存在空洞
• 实数系 $\mathbb{R}$ 完备 任何应该存在的数都确实存在

完备性有多种等价表述形式，它们在数学分析中各有重要应用。

二、七个等价表述

表述一：戴德金分割原理（Dedekind Completeness）

Definition 1（戴德金分割） 集合 $S$ 的一个分割是指将 $S$ 分成两个非空子集 $(A, B)$，且满足：

1. $A \cup B = S$，$A \cap B = \varnothing$；
2. $\forall a \in A, \forall b \in B$，有 $a < b$。

Theorem 1（戴德金分割原理） 对实数集 $\mathbb{R}$ 的任意分割 $(A, B)$，存在唯一的实数 $c$，使得下列两种情况之一成立：

• $A=(-\infty,c), B=[c,\infty)$；
• $A=(-\infty,c], B=(c,\infty)$。

也就是说，任一戴德金分割都由某个实数 $c$ 所决定。

表述二：确界原理（Least Upper Bound Property）

Theorem 2（确界原理） 设非空集合 $S\subseteq \mathbb{R}$ 存在上界，即

\[\begin{equation} \exists M\in\mathbb{R},\ \forall x\in S,\ x\le M, \end{equation}\]

则存在实数 $s\in\mathbb{R}$，满足：

1. $\forall x\in S,\ x\le s$；
2. $\forall M\in\mathbb{R}$，若 $\forall x\in S,\ x\le M$，则 $s\le M$。

称 $s$ 为 $S$ 的最小上界，记为 $s=\sup S$。

表述三：单调有界原理 (Monotone Convergence Principle)

Theorem 3（单调有界原理） 设实数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 单调递增，即

\[\begin{equation} x_n\le x_{n+1},\quad \forall n\ge 1, \end{equation}\]

且有上界，即

\[\begin{equation} \exists M\in\mathbb{R},\ \forall n\ge 1,\ x_n\le M, \end{equation}\]

则存在 $x\in\mathbb{R}$，使得

\[\begin{equation} \lim_{n\to\infty}x_n=x. \end{equation}\]

类似地，单调递减且有下界的数列也必收敛。

表述四：区间套定理 (Nested Interval Theorem)

Theorem 4（区间套定理） 设 $\lbrace [a_n,b_n]\rbrace _{n\ge 1}$ 为一列非空闭区间，满足

\[\begin{equation} [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_n,b_n],\quad \forall n\ge 1, \end{equation}\]

则有

\[\begin{equation} \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]\neq\varnothing。 \end{equation}\]

若进一步满足

\[\begin{equation} \lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0, \end{equation}\]

则存在唯一的 $x\in\mathbb{R}$，使得

\[\begin{equation} \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]=\lbrace x\rbrace . \end{equation}\]

表述五：有限覆盖定理 (Heine–Borel Finite Cover Theorem)

Definition 2（覆盖） 设 $X\subseteq \mathbb{R}$，若集合族 $\lbrace U_\lambda\rbrace _{\lambda\in\Lambda}$ 满足

\[\begin{equation} X\subseteq \bigcup_{\lambda\in\Lambda} U_\lambda, \end{equation}\]

则称 $\lbrace U_\lambda\rbrace _{\lambda\in\Lambda}$ 为 $X$ 的一个覆盖（cover）。

进一步，若任取 $\lambda\in\Lambda$，$U_\lambda$ 都是开集，则称其为 $X$ 的一个开覆盖（open cover）。

Theorem 5 (Heine–Borel) 设 $[a,b]\subseteq \mathbb{R}$ 为闭有界区间，$\lbrace U_\lambda\rbrace _{\lambda\in\Lambda}$ 为其一个开覆盖，则存在有限个下标 $\lambda_1,\dots,\lambda_m\in\Lambda$，使得

\[\begin{equation} [a,b]\subseteq U_{\lambda_1}\cup\cdots\cup U_{\lambda_m}. \end{equation}\]

也就是说，闭区间的每个开覆盖都有一个有限子覆盖。

表述六：柯西收敛准则 (Cauchy Convergence Principle)

Definition 3（柯西列） 若实数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 满足

\[\begin{equation} \forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N},\ \forall m,n\ge N,\ \vert x_n-x_m\vert <\varepsilon, \end{equation}\]

则称 $\lbrace x_n \rbrace$ 为柯西列。

Theorem 6（柯西收敛准则） 设实数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 为柯西列，则存在 $x\in\mathbb{R}$，使得

\[\begin{equation} \lim_{n\to\infty}x_n=x. \end{equation}\]

表述七：聚点定理 (Bolzano–Weierstrass Property)

Definition 4（聚点） 设 $E\subseteq \mathbb{R}$，若存在 $x\in\mathbb{R}$ 满足

\[\begin{equation} \forall \varepsilon>0,\ (E\setminus\lbrace x\rbrace )\cap (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\neq \varnothing, \end{equation}\]

则称 $x$ 为集合 $E$ 的一个聚点。

Theorem 7.1（聚点定理） 设 $E\subseteq \mathbb{R}$ 为有界无限集，则存在 $x\in\mathbb{R}$，使得 $x$ 是 $E$ 的一个聚点。

即 $\mathbb{R}$ 中每个有界无限子集至少有一个聚点。

Theorem 7.2 (Bolzano–Weierstrass) 设实数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界，即

\[\begin{equation} \exists M>0,\ \forall n\ge 1,\ \vert x_n\vert \le M, \end{equation}\]

则存在严格递增的自然数列 $\lbrace n_k \rbrace$ 以及 $x\in\mathbb{R}$，使得

\[\begin{equation} \lim_{k\to\infty} x_{n_k}=x. \end{equation}\]

即任意有界实数列都有收敛子列。

三、等价性证明

3.1. 戴德金分割原理 $\iff$ 确界原理

Proof（Theorem 1 $\Rightarrow$ Theorem 2） 设 $S\subseteq\mathbb{R}$ 非空且有上界。定义

\[\begin{equation} \begin{aligned} A&=\lbrace x\in\mathbb{R}:\exists s\in S,\ x\le s\rbrace \\ B&=\lbrace x\in\mathbb{R}:\forall s\in S,\ s<x\rbrace \end{aligned} \end{equation}\]

我们证明 $(A,B)$ 构成 $\mathbb{R}$ 的一个戴德金分割。

首先，$A\neq\varnothing$。因为 $S\neq\varnothing$，任取 $s_0\in S$，则 $s_0\le s_0$，故 $s_0\in A$。

其次，$B\neq\varnothing$。因为 $S$ 有上界，存在 $M\in\mathbb{R}$ 使得 $\forall s\in S,\ s\le M$，于是 $M+1\in B$。

再证 $A\cup B=\mathbb{R}$。任取 $x\in\mathbb{R}$。若 $x\notin B$，则“$\forall s\in S,\ s<x$”不成立，从而存在 $s\in S$ 使得 $x\le s$，故 $x\in A$。因此 $A\cup B=\mathbb{R}$。

再证 $A\cap B=\varnothing$。若 $x\in A\cap B$，则一方面由 $x\in A$，存在 $s\in S$ 使得 $x\le s$；另一方面由 $x\in B$，对任意 $s\in S$ 都有 $s<x$。两者矛盾。故 $A\cap B=\varnothing$。

最后，若 $a\in A,\ b\in B$，则由 $a\in A$，存在 $s\in S$ 使得 $a\le s$；又由 $b\in B$，有 $s<b$。于是

\[\begin{equation} a\le s<b, \end{equation}\]

从而 $a<b$。

故 $(A,B)$ 满足戴德金分割原理。由 Theorem 1，存在唯一的 $c\in\mathbb{R}$，使得下列两种情况之一成立：

• $A=(-\infty,c),\ B=[c,+\infty)$；
• $A=(-\infty,c],\ B=(c,+\infty)$。

下面证明 $c=\sup S$。

先证 $c$ 是 $S$ 的上界。

若不然，则存在 $s_0\in S$ 使得 $s_0>c$。由于 $s_0\le s_0$，按 $A$ 的定义有 $s_0\in A$。但无论上面两种情形中的哪一种，$A$ 中元素都必不大于 $c$，这与 $s_0>c$ 矛盾。故 $\forall s\in S,\ s\le c$。

再证 $c$ 是最小上界。

任取任意上界 $M$，即满足 $\forall s\in S,\ s\le M$。若 $M<c$，则由分割的结构知 $M\in A$。由 $A$ 的定义，存在 $s\in S$ 使得 $M\le s$。这与 $M$ 是上界矛盾（因为上界要求所有 $s\in S$ 都满足 $s\le M$，于是只能有 $s=M$；但若 $M<c$ 且是上界，则按 $B$ 的定义应有 $M\in B$，与 $M\in A$ 矛盾）。因此 $c\le M$。

故 $c$ 是 $S$ 的最小上界，即

\[\begin{equation} c=\sup S. \end{equation}\]

确界原理得证。

Proof（Theorem 2 $\Rightarrow$ Theorem 1） 设 $(A,B)$ 是实数集 $\mathbb{R}$ 的一个分割，满足：

1. $A\neq\varnothing,\ B\neq\varnothing$；
2. $A\cup B=\mathbb{R},\ A\cap B=\varnothing$；
3. $\forall a\in A,\ \forall b\in B,\ a<b$。

由 $B\neq\varnothing$，任取 $b_0\in B$。对任意 $a\in A$，由分割条件有 $a<b_0$，故 $b_0$ 是 $A$ 的一个上界。又因 $A\neq\varnothing$，根据确界原理，$A$ 存在最小上界，记

\[\begin{equation} c=\sup A. \end{equation}\]

下面证明此时必有下列两种情况之一成立：

• $A=(-\infty,c),\ B=[c,+\infty)$；
• $A=(-\infty,c],\ B=(c,+\infty)$。

首先证明：若 $x<c$，则 $x\in A$。
若 $x<c$ 但 $x\notin A$，则因 $A\cup B=\mathbb{R}$ 且 $A\cap B=\varnothing$，必有 $x\in B$。于是对任意 $a\in A$，都有 $a<x$。这说明 $x$ 是 $A$ 的一个上界。但 $x<c=\sup A$，与 $c$ 为最小上界矛盾。故必有 $x\in A$。因此

\[\begin{equation} (-\infty,c)\subseteq A. \end{equation}\]

其次证明：若 $x>c$，则 $x\in B$。
若 $x>c$ 且 $x\notin B$，则必有 $x\in A$。但 $x\in A$ 且 $x>c$ 与 $c$ 是 $A$ 的上界矛盾。故必有 $x\in B$。因此

\[\begin{equation} (c,+\infty)\subseteq B. \end{equation}\]

再看点 $c$ 本身。由于 $A\cup B=\mathbb{R}$ 且 $A\cap B=\varnothing$，故必有且仅有一种情形成立：

• 若 $c\in A$，则结合上面的结论可得

\[\begin{equation} \begin{aligned} A&=(-\infty,c]\\ B&=(c,+\infty). \end{aligned} \end{equation}\]

• 若 $c\in B$，则结合上面的结论可得

\[\begin{equation} \begin{aligned} A&=(-\infty,c)\\ B&=[c,+\infty). \end{aligned} \end{equation}\]

故存在实数 $c$ 使得分割恰好由 $c$ 决定。

最后证明唯一性。若另有 $d\in\mathbb{R}$ 也满足同样性质，则由对应的左、右半轴表示立刻得到同一个分割只能对应同一个分界点；否则若 $c<d$，则可取 $x$ 满足 $c<x<d$，这将导致 $x$ 同时落入不一致的部分，矛盾。同理不可能 $d<c$。故 $c=d$。

因此戴德金分割原理成立。

3.2. 确界原理 $\iff$ 单调有界原理

Proof（Theorem 2 $\Rightarrow$ Theorem 3） 设实数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 单调递增且有上界。记

\[\begin{equation} S=\lbrace x_n\mid n\in\mathbb{N}\rbrace . \end{equation}\]

则 $S\neq\varnothing$，且 $S$ 有上界。由确界原理，存在

\[\begin{equation} x=\sup S. \end{equation}\]

下面证明

\[\begin{equation} \lim_{n\to\infty}x_n=x. \end{equation}\]

任取 $\varepsilon>0$。由于 $x=\sup S$，故 $x-\varepsilon$ 不可能是 $S$ 的上界；否则由最小上界的定义应有

\[\begin{equation} x\le x-\varepsilon, \end{equation}\]

矛盾。因此存在某个 $N\in\mathbb{N}$，使得

\[\begin{equation} x_N>x-\varepsilon. \end{equation}\]

又由于 $\lbrace x_n \rbrace$ 单调递增，所以对任意 $n\ge N$，有

\[\begin{equation} x-\varepsilon<x_N\le x_n\le x. \end{equation}\]

于是

\[\begin{equation} \vert x_n-x\vert =x-x_n<\varepsilon,\qquad \forall n\ge N. \end{equation}\]

因此

\[\begin{equation} \lim_{n\to\infty}x_n=x. \end{equation}\]

故单调递增有上界的数列必收敛。

对于单调递减且有下界的情形，可类似证明，或对数列 $\lbrace -x_n \rbrace$ 应用上面的结论。故 Theorem 3 成立。

Proof（Theorem 3 $\Rightarrow$ Theorem 2） 设 $S\subseteq\mathbb{R}$ 非空且有上界。我们证明 $S$ 在 $\mathbb{R}$ 中存在最小上界。

任取 $a_1\in S$，再取一个上界 $b_1$，于是

\[\begin{equation} a_1\le b_1. \end{equation}\]

下面用二分法构造两个数列 $\lbrace a_n\rbrace$ 与 $\lbrace b_n\rbrace$，使得对每个 $n\ge 1$ 都满足：

1. $a_n\in S$；
2. $b_n$ 是 $S$ 的上界；
3. $a_n\le b_n$；
4. 区间 $[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_n,b_n]$；

\[\begin{equation} b_{n+1}-a_{n+1}=\frac{b_n-a_n}{2}. \end{equation}\]

已知 $a_n,b_n$ 后，令

\[\begin{equation} m_n=\frac{a_n+b_n}{2}. \end{equation}\]

分两种情形：

• 若 $m_n$ 是 $S$ 的上界，则令

\[\begin{equation} a_{n+1}=a_n,\qquad b_{n+1}=m_n. \end{equation}\]

• 若 $m_n$ 不是 $S$ 的上界，则存在 $s\in S$ 使得

\[\begin{equation} s>m_n. \end{equation}\]

取这样的一个 $s$ 作为 $a_{n+1}$，并令

\[\begin{equation} b_{n+1}=b_n. \end{equation}\]

于是上述 1–5 都成立。特别地，$\lbrace a_n\rbrace$ 单调递增，$\lbrace b_n\rbrace$ 单调递减，并且

\[\begin{equation} 0\le b_n-a_n=\frac{b_1-a_1}{2^{\,n-1}}\to 0. \end{equation}\]

由于 $\lbrace a_n\rbrace$ 单调递增且有上界 $b_1$，由单调有界原理，存在 $x\in\mathbb{R}$ 使得

\[\begin{equation} a_n\to x. \end{equation}\]

再由

\[\begin{equation} 0\le b_n-a_n\to 0, \end{equation}\]

可得

\[\begin{equation} b_n\to x. \end{equation}\]

下面证明 $x=\sup S$。

先证 $x$ 是 $S$ 的上界。任取 $s\in S$。对每个 $n$，由于 $b_n$ 是 $S$ 的上界，故

\[\begin{equation} s\le b_n. \end{equation}\]

令 $n\to\infty$，由 $b_n\to x$ 得

\[\begin{equation} s\le x. \end{equation}\]

因此 $x$ 是 $S$ 的上界。

再证 $x$ 是最小上界。任取任意上界 $M$。由于对每个 $n$ 都有 $a_n\in S$，故

\[\begin{equation} a_n\le M,\qquad \forall n\ge 1. \end{equation}\]

令 $n\to\infty$，由 $a_n\to x$ 得

\[\begin{equation} x\le M. \end{equation}\]

因此 $x$ 不大于任意上界，即 $x$ 是最小上界。

故

\[\begin{equation} x=\sup S. \end{equation}\]

确界原理得证。

3.3. 单调有界原理 $\iff$ 区间套定理

Proof（Theorem 3 $\Rightarrow$ Theorem 4） 设 $\lbrace [a_n,b_n]\rbrace _{n\ge 1}$ 为一列非空闭区间，且满足

\[\begin{equation} [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_n,b_n],\qquad \forall n\ge 1. \end{equation}\]

于是

\[\begin{equation} a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n,\qquad \forall n\ge 1. \end{equation}\]

因此，数列 $\lbrace a_n\rbrace$ 单调递增，且对任意 $n$ 都有 $a_n\le b_1$，故 $\lbrace a_n\rbrace$ 有上界。由单调有界原理，存在 $a\in\mathbb{R}$，使得

\[\begin{equation} a_n\to a. \end{equation}\]

下面证明

\[\begin{equation} a\in \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]. \end{equation}\]

任取固定的 $n\in\mathbb{N}$。由于 $(a_k)$ 单调递增，故对任意 $k\ge n$ 都有

\[\begin{equation} a_n\le a_k. \end{equation}\]

令 $k\to\infty$，得

\[\begin{equation} a_n\le a. \end{equation}\]

另一方面，由区间套关系知，对任意 $k\ge n$，都有

\[\begin{equation} a_k\le b_k\le b_n. \end{equation}\]

令 $k\to\infty$，得

\[\begin{equation} a\le b_n. \end{equation}\]

于是

\[\begin{equation} a_n\le a\le b_n. \end{equation}\]

由于 $n$ 任意，故

\[\begin{equation} a\in [a_n,b_n],\qquad \forall n\ge 1. \end{equation}\]

因此

\[\begin{equation} a\in \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n], \end{equation}\]

从而

\[\begin{equation} \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]\neq\varnothing. \end{equation}\]

若进一步满足

\[\begin{equation} \lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0, \end{equation}\]

则证明交集只有一个点。事实上，若

\[\begin{equation} x,y\in \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n], \end{equation}\]

则对任意 $n$ 都有

\[\begin{equation} a_n\le x\le b_n,\qquad a_n\le y\le b_n, \end{equation}\]

故

\[\begin{equation} \vert x-y\vert \le b_n-a_n. \end{equation}\]

令 $n\to\infty$，得

\[\begin{equation} \vert x-y\vert =0, \end{equation}\]

即 $x=y$。故此时

\[\begin{equation} \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n] \end{equation}\]

恰有一个元素。

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Proof（Theorem 4 $\Rightarrow$ Theorem 3） 先证明单调递增且有上界的情形。设实数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 满足

\[\begin{equation} x_n\le x_{n+1},\qquad \forall n\ge 1, \end{equation}\]

且存在 $M\in\mathbb{R}$ 使得

\[\begin{equation} x_n\le M,\qquad \forall n\ge 1. \end{equation}\]

对每个 $n\ge 1$，令

\[\begin{equation} I_n=[x_n,M]. \end{equation}\]

由于 $\lbrace x_n \rbrace$ 单调递增，故

\[\begin{equation} x_n\le x_{n+1}\le M, \end{equation}\]

从而

\[\begin{equation} I_{n+1}=[x_{n+1},M]\subseteq [x_n,M]=I_n. \end{equation}\]

于是 $\lbrace I_n\rbrace _{n\ge 1}$ 构成一列区间套。由区间套定理，

\[\begin{equation} \bigcap_{n=1}^{\infty}[x_n,M]\neq\varnothing. \end{equation}\]

任取

\[\begin{equation} x\in \bigcap_{n=1}^{\infty}[x_n,M]. \end{equation}\]

则对任意 $n$ 都有

\[\begin{equation} x_n\le x\le M. \end{equation}\]

特别地，$x$ 是数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 的一个上界。

下面证明

\[\begin{equation} x_n\to x. \end{equation}\]

任取 $\varepsilon>0$。由于 $x-\varepsilon<x$，而 $x$ 属于所有区间 $[x_n,M]$ 的交，故不可能对所有 $n$ 都有

\[\begin{equation} x_n\le x-\varepsilon. \end{equation}\]

否则便有

\[\begin{equation} x\le x-\varepsilon, \end{equation}\]

矛盾。因此存在 $N\in\mathbb{N}$，使得

\[\begin{equation} x_N>x-\varepsilon. \end{equation}\]

由单调递增性知，对任意 $n\ge N$，

\[\begin{equation} x-\varepsilon<x_N\le x_n\le x. \end{equation}\]

于是

\[\begin{equation} \vert x_n-x\vert =x-x_n<\varepsilon,\qquad \forall n\ge N. \end{equation}\]

因此

\[\begin{equation} \lim_{n\to\infty}x_n=x. \end{equation}\]

再证明单调递减且有下界的情形。若 $\lbrace x_n \rbrace$ 单调递减且有下界，则数列 $\lbrace -x_n \rbrace$ 单调递增且有上界。由刚才已证结论，存在 $y\in\mathbb{R}$，使得

\[\begin{equation} -x_n\to y. \end{equation}\]

于是

\[\begin{equation} x_n\to -y. \end{equation}\]

故单调递减且有下界的数列也收敛。

因此，单调有界原理成立。

3.4. 区间套定理 $\iff$ 有限覆盖定理

Proof（Theorem 4 $\Rightarrow$ Theorem 5） 设闭区间 $[a,b]\subseteq \mathbb{R}$ 的一个开覆盖

\[\begin{equation} [a,b]\subseteq \bigcup_{\lambda\in\Lambda} U_\lambda, \end{equation}\]

其中每个 $U_\lambda$ 都是开集。下面证明其中存在有限子覆盖。

采用反证法。假设不存在有限子覆盖。令

\[\begin{equation} I_1=[a,b]. \end{equation}\]

由于 $I_1$ 不能被有限多个 $U_\lambda$ 所覆盖，将 $I_1$ 二等分为

\[\begin{equation} \begin{aligned} I_1^{(1)}&=\left[a,\frac{a+b}{2}\right]\\ I_1^{(2)}&=\left[\frac{a+b}{2},b\right] \end{aligned} \end{equation}\]

若这两个闭区间都能被有限多个 $U_\lambda$ 所覆盖，则 $I_1$ 也能被有限多个 $U_\lambda$ 所覆盖，这与假设矛盾。因此，至少有一个不能被有限多个 $U_\lambda$ 所覆盖。记这样的区间为 $I_2$。

递归地，已构造出闭区间

\[\begin{equation} I_n=[a_n,b_n] \end{equation}\]

且 $I_n$ 不能被有限多个 $U_\lambda$ 所覆盖。将 $I_n$ 二等分为两个闭区间。与上面相同的理由可知，其中至少有一个也不能被有限多个 $U_\lambda$ 所覆盖。记该区间为

\[\begin{equation} I_{n+1}=[a_{n+1},b_{n+1}]. \end{equation}\]

于是得到一列闭区间，满足

\[\begin{equation} I_{n+1}\subseteq I_n,\qquad \forall n\ge 1, \end{equation}\]

并且

\[\begin{equation} b_n-a_n=\frac{b-a}{2^{\,n-1}},\qquad \forall n\ge 1. \end{equation}\]

因此

\[\begin{equation} \lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0. \end{equation}\]

由区间套定理，存在唯一的点

\[\begin{equation} x\in \bigcap_{n=1}^{\infty} I_n. \end{equation}\]

由于 $\lbrace U_\lambda\rbrace _{\lambda\in\Lambda}$ 覆盖 $[a,b]$，故存在某个 $\lambda_0\in\Lambda$ 使得

\[\begin{equation} x\in U_{\lambda_0}. \end{equation}\]

又因为 $U_{\lambda_0}$ 是开集，所以存在 $\varepsilon>0$ 使得

\[\begin{equation} (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq U_{\lambda_0}. \end{equation}\]

另一方面，由于 $b_n-a_n\to 0$ 且 $x\in I_n$，存在 $N\in\mathbb{N}$，使得

\[\begin{equation} I_N\subseteq (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq U_{\lambda_0}. \end{equation}\]

于是 $I_N$ 可被一个开集 $U_{\lambda_0}$ 覆盖，从而当然可被有限多个 $U_\lambda$ 所覆盖，这与 $I_N$ 的构造性质矛盾。

矛盾表明原假设不成立。因此，$[a,b]$ 的任意开覆盖都存在有限子覆盖。

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Proof（Theorem 5 $\Rightarrow$ Theorem 4） 设 $\lbrace [a_n,b_n]\rbrace _{n\ge 1}$ 为一列非空闭区间，满足

\[\begin{equation} [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_n,b_n],\qquad \forall n\ge 1. \end{equation}\]

下面证明

\[\begin{equation} \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]\neq\varnothing. \end{equation}\]

采用反证法。假设

\[\begin{equation} \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]=\varnothing. \end{equation}\]

令

\[\begin{equation} I_1=[a_1,b_1]. \end{equation}\]

对每个 $n\ge 1$，定义

\[\begin{equation} U_n=\mathbb{R}\setminus [a_n,b_n]. \end{equation}\]

由于 $[a_n,b_n]$ 是闭集，故 $U_n$ 是开集。

下面证明 $\lbrace U_n\rbrace _{n\ge 1}$ 构成 $I_1$ 的一个开覆盖。任取 $x\in I_1$。由假设

\[\begin{equation} x\notin \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n], \end{equation}\]

故存在某个 $n$，使得

\[\begin{equation} x\notin [a_n,b_n]. \end{equation}\]

于是

\[\begin{equation} x\in U_n. \end{equation}\]

因此

\[\begin{equation} I_1\subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} U_n. \end{equation}\]

所以 $\lbrace U_n\rbrace _{n\ge 1}$ 的确是 $I_1$ 的一个开覆盖。

由有限覆盖定理，存在有限个指标 $n_1,\dots,n_m$，使得

\[\begin{equation} I_1\subseteq U_{n_1}\cup\cdots\cup U_{n_m}. \end{equation}\]

设

\[\begin{equation} N=\max\lbrace n_1,\dots,n_m\rbrace . \end{equation}\]

由于闭区间是套缩的，即

\[\begin{equation} [a_{N},b_{N}]\subseteq [a_{n_j},b_{n_j}],\qquad j=1,\dots,m, \end{equation}\]

两边取补可得

\[\begin{equation} U_{n_j}\subseteq U_N,\qquad j=1,\dots,m. \end{equation}\]

因此

\[\begin{equation} I_1\subseteq U_{n_1}\cup\cdots\cup U_{n_m}\subseteq U_N. \end{equation}\]

于是

\[\begin{equation} [a_N,b_N]\subseteq I_1\subseteq U_N=\mathbb{R}\setminus [a_N,b_N], \end{equation}\]

这显然不可能，因为 $[a_N,b_N]$ 非空。

矛盾表明假设不成立，从而

\[\begin{equation} \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]\neq\varnothing. \end{equation}\]

若进一步满足

\[\begin{equation} \lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0, \end{equation}\]

则证明交集中元素唯一。设

\[\begin{equation} x,y\in \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]. \end{equation}\]

则对任意 $n$，都有

\[\begin{equation} \begin{aligned} a_n&\le x\le b_n\\ a_n&\le y\le b_n \end{aligned} \end{equation}\]

从而

\[\begin{equation} \vert x-y\vert \le b_n-a_n. \end{equation}\]

令 $n\to\infty$，得

\[\begin{equation} \vert x-y\vert =0, \end{equation}\]

故 $x=y$。因此

\[\begin{equation} \bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n] \end{equation}\]

恰含一个点。

3.5. 有限覆盖定理 $\iff$ 柯西收敛准则

Proof（Theorem 5 $\Rightarrow$ Theorem 6） 设实数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 为柯西列，即

\[\begin{equation} \forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N},\ \forall m,n\ge N,\ \vert x_n-x_m\vert <\varepsilon. \end{equation}\]

下面证明 $\lbrace x_n \rbrace$ 收敛。

首先证明 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界。取 $\varepsilon=1$，则存在 $N\in\mathbb{N}$，使得对任意 $m,n\ge N$，

\[\begin{equation} \vert x_n-x_m\vert <1. \end{equation}\]

固定一个 $m=N$，则对任意 $n\ge N$，

\[\begin{equation} \vert x_n-x_N\vert <1, \end{equation}\]

从而

\[\begin{equation} \vert x_n\vert \le \vert x_N\vert +1,\qquad \forall n\ge N. \end{equation}\]

再令

\[\begin{equation} M=\max\lbrace \vert x_1\vert ,\dots,\vert x_{N-1}\vert ,\vert x_N\vert +1\rbrace , \end{equation}\]

则

\[\begin{equation} \vert x_n\vert \le M,\qquad \forall n\ge 1. \end{equation}\]

故数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界，即其值域集合

\[\begin{equation} E=\lbrace x_n\mid n\in\mathbb{N}\rbrace \end{equation}\]

是有界集。

分两种情形讨论。

情形 1 集合 $E$ 有限。

此时数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 只取有限个值。由于 $\lbrace x_n \rbrace$ 是柯西列，下面证明它必最终恒定。

若不然，则存在两个不同的值 $a,b\in E$，满足 $a\neq b$，并且对任意 $N\in\mathbb{N}$，在指标大于等于 $N$ 的项中仍能同时取到值 $a$ 与 $b$。令

\[\begin{equation} \varepsilon=\frac{\vert a-b\vert }{2}>0. \end{equation}\]

由柯西性，存在 $N\in\mathbb{N}$，使得对任意 $m,n\ge N$，

\[\begin{equation} \vert x_n-x_m\vert <\varepsilon. \end{equation}\]

但按假设，可取 $m,n\ge N$ 使得 $x_m=a,\ x_n=b$，于是

\[\begin{equation} \vert x_n-x_m\vert =\vert a-b\vert >\varepsilon, \end{equation}\]

矛盾。故 $\lbrace x_n \rbrace$ 从某一项起恒等于某个常数，因此收敛。

情形 2 集合 $E$ 无限。

由于 $E$ 有界且无限，下面在闭区间

\[\begin{equation} [-M,M] \end{equation}\]

上构造一个开覆盖。对每个 $k\in\mathbb{N}$，令

\[\begin{equation} U_k=\bigcup_{n=k}^{\infty}\left(x_n-\frac{1}{k},\,x_n+\frac{1}{k}\right). \end{equation}\]

每个 $U_k$ 都是开集。

下面证明 $\lbrace U_k\rbrace _{k\ge 1}$ 覆盖 $E$。任取 $x\in E$，则存在某个 $j\in\mathbb{N}$ 使得 $x=x_j$。对任意 $k\ge j$，都有

\[\begin{equation} x=x_j\in \left(x_j-\frac{1}{k},\,x_j+\frac{1}{k}\right)\subseteq U_k. \end{equation}\]

故

\[\begin{equation} E\subseteq \bigcup_{k=1}^{\infty} U_k. \end{equation}\]

进一步考虑开集族

\[\begin{equation} \lbrace U_k\rbrace _{k\ge 1}\cup \lbrace \mathbb{R}\setminus E\rbrace . \end{equation}\]

这是一族开集，并且覆盖闭区间 $[-M,M]$，因为对任意 $x\in[-M,M]$：

• 若 $x\notin E$，则 $x\in \mathbb{R}\setminus E$；
• 若 $x\in E$，则 $x\in U_k$ 对某个 $k$ 成立。

于是

\[\begin{equation} [-M,M]\subseteq \left(\mathbb{R}\setminus E\right)\cup \bigcup_{k=1}^{\infty} U_k. \end{equation}\]

由有限覆盖定理，存在正整数 $k_1,\dots,k_r$，使得

\[\begin{equation} [-M,M]\subseteq \left(\mathbb{R}\setminus E\right)\cup U_{k_1}\cup\cdots\cup U_{k_r}. \end{equation}\]

令

\[\begin{equation} K=\max\lbrace k_1,\dots,k_r\rbrace . \end{equation}\]

由于当 $k\le K$ 时有

\[\begin{equation} U_K\subseteq U_k, \end{equation}\]

故

\[\begin{equation} U_{k_1}\cup\cdots\cup U_{k_r}\supseteq U_K. \end{equation}\]

另一方面，对任意 $x\in E$，由上式覆盖关系知 $x\notin \mathbb{R}\setminus E$，故必有

\[\begin{equation} x\in U_{k_1}\cup\cdots\cup U_{k_r}. \end{equation}\]

又因为对每个 $i$ 都有 $U_K\subseteq U_{k_i}$ 未必成立，但由 $k_i\le K$ 可知

\[\begin{equation} \frac{1}{K}\le \frac{1}{k_i},\qquad \lbrace n\ge K\rbrace \subseteq \lbrace n\ge k_i\rbrace , \end{equation}\]

因此不能直接比较包含关系。故改取

\[\begin{equation} K'=k_1+\cdots+k_r. \end{equation}\]

由柯西性，存在 $N\in\mathbb{N}$，使得对任意 $m,n\ge N$，

\[\begin{equation} \vert x_n-x_m\vert <\frac{1}{K'}. \end{equation}\]

于是尾项集合

\[\begin{equation} E_N=\lbrace x_n:n\ge N\rbrace \end{equation}\]

的直径小于 $1/K’$。因此其闭包 $\overline{E_N}$ 仍为有界集。记

\[\begin{equation} F=\overline{E_N}. \end{equation}\]

若能证明 $F$ 有聚点 $x$，则由柯西性可推出 $x_n\to x$。下面说明这一点：

任取 $\varepsilon>0$，取 $N_1$ 使得

\[\begin{equation} \frac{1}{N_1}<\frac{\varepsilon}{2}. \end{equation}\]

再由柯西性取 $N_2$，使得当 $m,n\ge N_2$ 时，

\[\begin{equation} \vert x_n-x_m\vert <\frac{\varepsilon}{2}. \end{equation}\]

取 $n_0\ge \max\lbrace N,N_1,N_2\rbrace$。若 $x$ 是尾集 $\lbrace x_n\mid n\ge n_0\rbrace$ 的聚点，则存在 $m\ge n_0$ 使得

\[\begin{equation} \vert x-x_m\vert <\frac{\varepsilon}{2}. \end{equation}\]

于是对任意 $n\ge n_0$，

\[\begin{equation} \vert x_n-x\vert \le \vert x_n-x_m\vert +\vert x_m-x\vert <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \end{equation}\]

因此 $x_n\to x$。

所以下面只需证明：任一有界无限集存在聚点。为此，对闭区间 $[-M,M]$ 作如下反证。假设 $E$ 没有聚点，则对每个 $x\in[-M,M]$，存在 $\varepsilon_x>0$，使得

\[\begin{equation} (x-\varepsilon_x,x+\varepsilon_x)\cap (E\setminus\lbrace x\rbrace )=\varnothing. \end{equation}\]

记

\[\begin{equation} V_x=(x-\varepsilon_x/2,\ x+\varepsilon_x/2). \end{equation}\]

则 $\lbrace V_x\mid x\in[-M,M]\rbrace$ 是 $[-M,M]$ 的一个开覆盖。由有限覆盖定理，存在有限子覆盖

\[\begin{equation} [-M,M]\subseteq V_{x_1}\cup\cdots\cup V_{x_s}. \end{equation}\]

而每个 $V_{x_i}$ 至多含有 $E$ 的一个点；否则若包含两个不同点 $y,z\in E$，则它们都属于

\[\begin{equation} (x_i-\varepsilon_{x_i},x_i+\varepsilon_{x_i}), \end{equation}\]

与该邻域中除 $x_i$ 外不含 $E$ 中其他点矛盾。于是 $E$ 至多有限，这与情形 2 中 $E$ 无限矛盾。

故 $E$ 必有聚点。由上面的论证，柯西列 $\lbrace x_n \rbrace$ 收敛。

---

Proof（Theorem 6 $\Rightarrow$ Theorem 5） 下面由柯西收敛准则推出有限覆盖定理。

设 $[a,b]\subseteq \mathbb{R}$，且 $\lbrace U_\lambda\rbrace _{\lambda\in\Lambda}$ 是它的一个开覆盖，即

\[\begin{equation} [a,b]\subseteq \bigcup_{\lambda\in\Lambda} U_\lambda, \end{equation}\]

其中每个 $U_\lambda$ 都是开集。下面证明它存在有限子覆盖。

采用反证法。

假设不存在有限子覆盖。将区间 $[a,b]$ 二等分，则至少有一个半区间不能被有限多个 $U_\lambda$ 覆盖；否则两个半区间都能被有限多个 $U_\lambda$ 覆盖，从而 $[a,b]$ 也能被有限多个 $U_\lambda$ 覆盖，矛盾。记这个半区间为

\[\begin{equation} I_1=[a_1,b_1]. \end{equation}\]

递归地，若已构造出闭区间

\[\begin{equation} I_n=[a_n,b_n] \end{equation}\]

且 $I_n$ 不能被有限多个 $U_\lambda$ 覆盖，则将其二等分，至少有一个半区间仍不能被有限多个 $U_\lambda$ 覆盖，记为

\[\begin{equation} I_{n+1}=[a_{n+1},b_{n+1}]. \end{equation}\]

于是得到一列闭区间，满足

\[\begin{equation} \begin{aligned} I_{n+1}&\subseteq I_n\\ b_n-a_n&=\frac{b-a}{2^n} \end{aligned} \end{equation}\]

对每个 $n$，令 $x_n$ 为区间 $I_n$ 的中点，即

\[\begin{equation} x_n=\frac{a_n+b_n}{2}. \end{equation}\]

由于

\[\begin{equation} x_n\in [a,b],\qquad \forall n, \end{equation}\]

故 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界。并且对任意 $m>n$，由于 $I_m\subseteq I_n$，所以 $x_n,x_m\in I_n$，从而

\[\begin{equation} \vert x_n-x_m\vert \le b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}. \end{equation}\]

因此，对任意 $\varepsilon>0$，只需取 $N$ 充分大，使得

\[\begin{equation} \frac{b-a}{2^N}<\varepsilon, \end{equation}\]

则对任意 $m,n\ge N$，不妨设 $m\ge n$，有

\[\begin{equation} \vert x_n-x_m\vert \le \frac{b-a}{2^n}\le \frac{b-a}{2^N}<\varepsilon. \end{equation}\]

故 $\lbrace x_n \rbrace$ 是柯西列。

由柯西收敛准则，存在 $x\in\mathbb{R}$，使得

\[\begin{equation} x_n\to x. \end{equation}\]

由于每个 $I_n$ 都是闭区间，且对任意 $m\ge n$，有 $x_m\in I_n$，令 $m\to\infty$ 可得

\[\begin{equation} x\in I_n,\qquad \forall n\ge 1. \end{equation}\]

因此

\[\begin{equation} x\in \bigcap_{n=1}^{\infty} I_n\subseteq [a,b]. \end{equation}\]

由于 $\lbrace U_\lambda\rbrace _{\lambda\in\Lambda}$ 覆盖 $[a,b]$，存在某个 $\lambda_0\in\Lambda$ 使得

\[\begin{equation} x\in U_{\lambda_0}. \end{equation}\]

又因为 $U_{\lambda_0}$ 是开集，所以存在 $\varepsilon>0$ 使得

\[\begin{equation} (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq U_{\lambda_0}. \end{equation}\]

由

\[\begin{equation} b_n-a_n\to 0 \end{equation}\]

以及 $x\in I_n$，可取 $N$ 充分大，使得

\[\begin{equation} I_N\subseteq (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subseteq U_{\lambda_0}. \end{equation}\]

于是 $I_N$ 可被单个开集 $U_{\lambda_0}$ 覆盖，从而可被有限多个 $U_\lambda$ 覆盖，这与 $I_N$ 的构造矛盾。

矛盾表明原假设不成立。因此，$[a,b]$ 的任意开覆盖都存在有限子覆盖。

3.6. 柯西收敛准则 $\iff$ 聚点定理

3.6.1 聚点定理两个表述的等价性

我们先证明聚点定理的两个表述是等价的。

Proof（Theorem 7.1 $\Rightarrow$ Theorem 7.2） 设 Theorem 7.1 成立，即 $\mathbb{R}$ 中每个有界无限子集至少有一个聚点。设实数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界。下面证明 $\lbrace x_n \rbrace$ 有收敛子列。

记

\[\begin{equation} E=\lbrace x_n\mid n\in\mathbb{N}\rbrace . \end{equation}\]

由于 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界，故 $E$ 有界。

先分两种情形讨论。

情形 1 $E$ 为有限集。
由于数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 取值只来自有限集，而项数无限，依据抽屉原理，必存在某个 $a\in E$，使得

\[\begin{equation} \lbrace n\in\mathbb{N}\mid x_n=a\rbrace \end{equation}\]

为无限集。于是可以取严格递增的自然数序列 $(n_k)_{k\ge 1}$，使得

\[\begin{equation} x_{n_k}=a,\qquad \forall k\ge 1. \end{equation}\]

故

\[\begin{equation} x_{n_k}\to a. \end{equation}\]

情形 2 $E$ 为无限集。
由 Theorem 7.1，$E$ 至少有一个聚点，记为 $x\in\mathbb{R}$。由聚点的定义，

\[\begin{equation} \forall \varepsilon>0,\ (E\setminus\lbrace x\rbrace )\cap (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\neq\varnothing. \end{equation}\]

下面递归构造一个子列收敛到 $x$。

对 $k=1,2,\dots$，由于 $x$ 是 $E$ 的聚点，存在某个指标 $n_k$，使得

\[\begin{equation} \vert x_{n_k}-x\vert <\frac{1}{k}. \end{equation}\]

并且可要求

\[\begin{equation} n_1<n_2<\cdots<n_k<\cdots. \end{equation}\]

这是因为对任意 $m\in\mathbb{N}$，集合

\[\begin{equation} \lbrace x_1,x_2,\dots,x_m\rbrace \end{equation}\]

是有限集，不可能在每个邻域内都提供与 $x$ 任意接近的无限多项；更直接地说，若某个邻域中只有有限多个满足条件的指标，则去掉这些有限指标后，仍可由聚点定义在更小邻域中找到新的项。于是可递归选出严格递增的 $\lbrace n_k\rbrace$，使得

\[\begin{equation} \vert x_{n_k}-x\vert <\frac{1}{k},\qquad \forall k\ge 1. \end{equation}\]

因此

\[\begin{equation} x_{n_k}\to x. \end{equation}\]

故任意有界实数序列都有收敛子列。

Proof（Theorem 7.2 $\Rightarrow$ Theorem 7.1） 设 Theorem 7.2 成立，即任意有界实数序列都有收敛子列。设 $E\subseteq \mathbb{R}$ 为有界无限集。下面证明 $E$ 至少有一个聚点。

由于 $E$ 为无限集，可从中取互不相同的点构成数列 $\lbrace x_n \rbrace_{n\ge 1}$，满足

\[\begin{equation} x_n\in E,\qquad x_n\neq x_m\ (n\neq m). \end{equation}\]

因为 $E$ 有界，所以数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界。由 Theorem 7.2，存在严格递增的自然数序列 $\lbrace n_k\rbrace$ 以及某个 $x\in\mathbb{R}$，使得

\[\begin{equation} x_{n_k}\to x. \end{equation}\]

下面证明 $x$ 是 $E$ 的一个聚点。

任取 $\varepsilon>0$。由

\[\begin{equation} x_{n_k}\to x, \end{equation}\]

存在 $K\in\mathbb{N}$，使得当 $k\ge K$ 时，

\[\begin{equation} \vert x_{n_k}-x\vert <\varepsilon. \end{equation}\]

于是

\[\begin{equation} x_{n_k}\in (x-\varepsilon,x+\varepsilon),\qquad \forall k\ge K. \end{equation}\]

又由于各 $x_{n_k}$ 两两不同，因此总可以取某个 $k\ge K$ 使得

\[\begin{equation} x_{n_k}\neq x. \end{equation}\]

并且

\[\begin{equation} x_{n_k}\in E. \end{equation}\]

故

\[\begin{equation} (E\setminus\lbrace x\rbrace )\cap (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\neq\varnothing. \end{equation}\]

由于 $\varepsilon>0$ 任意，故 $x$ 是 $E$ 的聚点。

3.6.2. 柯西收敛准则 $\iff$ Bolzano–Weierstrass 定理

Proof（Theorem 6 $\Rightarrow$ Theorem 7.2） 设实数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界。下面证明 $\lbrace x_n \rbrace$ 存在收敛子列。

由前面已经证明的 Theorem 5 $\Rightarrow$ Theorem 4 以及 Theorem 4 $\Rightarrow$ Theorem 3，可知有限覆盖定理可推出区间套定理，再推出单调有界原理。又由 Theorem 6 $\Rightarrow$ Theorem 5，故 Theorem 6 可推出 Theorem 3。

现在在闭区间 $[a,b]$ 中包含该数列全部项，即

\[\begin{equation} x_n\in [a,b],\qquad \forall n\ge 1. \end{equation}\]

将 $[a,b]$ 二等分，至少有一个半区间包含数列中无穷多项，记该半区间为 $I_1$。再将 $I_1$ 二等分，至少有一个半区间仍包含数列中无穷多项，记为 $I_2$。如此递归构造，可得一列闭区间

\[\begin{equation} I_n=[a_n,b_n], \end{equation}\]

满足

\[\begin{equation} I_{n+1}\subseteq I_n,\qquad b_n-a_n=\frac{b-a}{2^{\,n-1}}, \end{equation}\]

并且每个 $I_n$ 都包含数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 的无穷多项。

对每个 $n$，从 $I_n$ 中选取一个数列项 $x_{m_n}$，使得

\[\begin{equation} m_1<m_2<\cdots<m_n<\cdots, \qquad x_{m_n}\in I_n. \end{equation}\]

这是可行的，因为每个 $I_n$ 都包含无穷多项，所以在已经选定有限多个指标之后，仍可在 $I_n$ 中找到指标更大的项。

于是，对任意固定的 $p$，当 $n\ge p$ 时，由

\[\begin{equation} I_n\subseteq I_p \end{equation}\]

可知

\[\begin{equation} x_{m_n}\in I_p. \end{equation}\]

因此当 $m,n\ge p$ 时，

\[\begin{equation} x_{m_n},x_{m_m}\in I_p, \end{equation}\]

从而

\[\begin{equation} \vert x_{m_n}-x_{m_m}\vert \le b_p-a_p=\frac{b-a}{2^{\,p-1}}. \end{equation}\]

任取 $\varepsilon>0$，取 $p$ 充分大，使得

\[\begin{equation} \frac{b-a}{2^{\,p-1}}<\varepsilon. \end{equation}\]

则对任意 $m,n\ge p$，有

\[\begin{equation} \vert x_{m_n}-x_{m_m}\vert <\varepsilon. \end{equation}\]

故子列 $(x_{m_n})$ 是柯西列。

由 Theorem 6，柯西列必收敛，因此 $(x_{m_n})$ 收敛。故任意有界实数序列都有收敛子列。

Proof（Theorem 7.2 $\Rightarrow$ Theorem 6） 设实数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 为柯西列。下面证明 $\lbrace x_n \rbrace$ 收敛。

首先证明 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界。取 $\varepsilon=1$，则存在 $N\in\mathbb{N}$，使得对任意 $m,n\ge N$，

\[\begin{equation} \vert x_n-x_m\vert <1. \end{equation}\]

固定 $m=N$，则对任意 $n\ge N$，

\[\begin{equation} \vert x_n-x_N\vert <1, \end{equation}\]

故

\[\begin{equation} \vert x_n\vert \le \vert x_N\vert +1,\qquad \forall n\ge N. \end{equation}\]

再与前有限多项合并可知 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界。

由 Theorem 7.2，存在子列 $(x_{n_k})_{k\ge 1}$ 及某个 $x\in\mathbb{R}$，使得

\[\begin{equation} x_{n_k}\to x. \end{equation}\]

下面证明整个数列都收敛到 $x$。

任取 $\varepsilon>0$。由 $\lbrace x_n \rbrace$ 为柯西列，存在 $N_1\in\mathbb{N}$，使得对任意 $m,n\ge N_1$，

\[\begin{equation} \vert x_n-x_m\vert <\frac{\varepsilon}{2}. \end{equation}\]

又由于

\[\begin{equation} x_{n_k}\to x, \end{equation}\]

存在 $K\in\mathbb{N}$，使得当 $k\ge K$ 时，

\[\begin{equation} \vert x_{n_k}-x\vert <\frac{\varepsilon}{2}. \end{equation}\]

再取 $k$ 足够大，使得

\[\begin{equation} n_k\ge N_1 \end{equation}\]

且

\[\begin{equation} \vert x_{n_k}-x\vert <\frac{\varepsilon}{2}. \end{equation}\]

于是对任意 $n\ge N_1$，有

\[\begin{equation} \vert x_n-x\vert \le \vert x_n-x_{n_k}\vert +\vert x_{n_k}-x\vert <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} =\varepsilon. \end{equation}\]

因此

\[\begin{equation} \lim_{n\to\infty}x_n=x. \end{equation}\]

故任意柯西实数列都收敛。

3.7. 聚点定理 $\iff$ 戴德金分割原理

Proof（Theorem 1 $\Rightarrow$ Theorem 7(a)） 设 $E\subseteq \mathbb{R}$ 为有界无限集。定义

\[\begin{equation} A=\lbrace x\in\mathbb{R}:E\cap(-\infty,x)\ \text{是有限集}\rbrace , \end{equation}\] \[\begin{equation} B=\lbrace x\in\mathbb{R}:E\cap(-\infty,x)\ \text{是无限集}\rbrace . \end{equation}\]

下面证明 $(A,B)$ 构成 $\mathbb{R}$ 的一个戴德金分割。

首先，$A\neq\varnothing$。由于 $E$ 有下界，取 $m\in\mathbb{R}$ 使得

\[\begin{equation} y\ge m,\qquad \forall y\in E. \end{equation}\]

则

\[\begin{equation} E\cap(-\infty,m)=\varnothing, \end{equation}\]

故 $m\in A$。

其次，$B\neq\varnothing$。由于 $E$ 有上界，取 $M\in\mathbb{R}$ 使得

\[\begin{equation} y\le M,\qquad \forall y\in E. \end{equation}\]

于是

\[\begin{equation} E\subseteq (-\infty,M+1). \end{equation}\]

又因 $E$ 是无限集，故

\[\begin{equation} E\cap(-\infty,M+1)=E \end{equation}\]

是无限集，从而 $M+1\in B$。

再证 $A\cup B=\mathbb{R}$ 且 $A\cap B=\varnothing$。任取 $x\in\mathbb{R}$，集合

\[\begin{equation} E\cap(-\infty,x) \end{equation}\]

或者有限，或者无限，因此 $x\in A\cup B$；且不可能同时有限又无限，故 $A\cap B=\varnothing$。

最后，若 $a\in A,\ b\in B$，则必有 $a<b$。否则若 $b\le a$，则

\[\begin{equation} (-\infty,b)\subseteq(-\infty,a), \end{equation}\]

从而

\[\begin{equation} E\cap(-\infty,b)\subseteq E\cap(-\infty,a). \end{equation}\]

由于 $a\in A$，右边是有限集，于是左边也是有限集，这与 $b\in B$ 矛盾。故 $a<b$。

因此，$(A,B)$ 满足戴德金分割原理。由 Theorem 1，存在唯一的 $c\in\mathbb{R}$，使得下列两种情况之一成立：

• $A=(-\infty,c),\ B=[c,+\infty)$；
• $A=(-\infty,c],\ B=(c,+\infty)$。

下面证明 $c$ 是 $E$ 的一个聚点。

任取 $\varepsilon>0$。由于

\[\begin{equation} c-\frac{\varepsilon}{2}<c<c+\frac{\varepsilon}{2}, \end{equation}\]

由分割的结构可知

\[\begin{equation} c-\frac{\varepsilon}{2}\in A,\qquad c+\frac{\varepsilon}{2}\in B. \end{equation}\]

于是

\[\begin{equation} E\cap\left(-\infty,c-\frac{\varepsilon}{2}\right) \end{equation}\]

是有限集，而

\[\begin{equation} E\cap\left(-\infty,c+\frac{\varepsilon}{2}\right) \end{equation}\]

是无限集。因此

\[\begin{equation} E\cap\left(c-\frac{\varepsilon}{2},\,c+\frac{\varepsilon}{2}\right) \end{equation}\]

必为无限集，特别地非空。又因为一个集合中至多只有一个点等于 $c$，故

\[\begin{equation} (E\setminus\lbrace c\rbrace )\cap\left(c-\frac{\varepsilon}{2},\,c+\frac{\varepsilon}{2}\right)\neq\varnothing. \end{equation}\]

而

\[\begin{equation} \left(c-\frac{\varepsilon}{2},\,c+\frac{\varepsilon}{2}\right)\subseteq(c-\varepsilon,c+\varepsilon), \end{equation}\]

所以

\[\begin{equation} (E\setminus\lbrace c\rbrace )\cap(c-\varepsilon,c+\varepsilon)\neq\varnothing. \end{equation}\]

由于 $\varepsilon>0$ 任意，故 $c$ 是 $E$ 的一个聚点。

Proof（Theorem 7.2 $\Rightarrow$ Theorem 1） 设 $(A,B)$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个分割，满足

1. $A\neq\varnothing,\ B\neq\varnothing$；
2. $A\cup B=\mathbb{R},\ A\cap B=\varnothing$；
3. $\forall a\in A,\ \forall b\in B,\ a<b$。

先说明两个简单性质：

• 若 $x\in A$ 且 $y<x$，则 $y\in A$。否则若 $y\in B$，则由分割条件应有 $x<y$，与 $y<x$ 矛盾。
• 若 $x\in B$ 且 $y>x$，则 $y\in B$。否则若 $y\in A$，则由分割条件应有 $y<x$，与 $y>x$ 矛盾。

因此，$A$ 是向下封闭的，$B$ 是向上封闭的。

任取

\[\begin{equation} a_1\in A,\qquad b_1\in B. \end{equation}\]

由分割条件知

\[\begin{equation} a_1<b_1. \end{equation}\]

下面用二分法构造两列数 $\lbrace a_n\rbrace$ 与 $\lbrace b_n\rbrace$，满足

• $a_n\in A,b_n\in B$；
• $[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq[a_n,b_n]$；
• $\forall n\ge 1$ 都有 $b_n-a_n=\frac{b_1-a_1}{2^{\,n-1}}$。

已知 $a_n,b_n$ 后，令

\[\begin{equation} m_n=\frac{a_n+b_n}{2}. \end{equation}\]

由于

\[\begin{equation} m_n\in A\cup B=\mathbb{R}, \end{equation}\]

分两种情形：

• 若 $m_n\in A$，令

\[\begin{equation} a_{n+1}=m_n,\qquad b_{n+1}=b_n. \end{equation}\]

• 若 $m_n\in B$，令

\[\begin{equation} a_{n+1}=a_n,\qquad b_{n+1}=m_n. \end{equation}\]

于是 $\lbrace a_n\rbrace$ 单调递增，$\lbrace b_n\rbrace$ 单调递减，且

\[\begin{equation} 0\le b_n-a_n=\frac{b_1-a_1}{2^{\,n-1}}\to 0. \end{equation}\]

特别地，$\lbrace a_n\rbrace$ 与 $\lbrace b_n\rbrace$ 都是有界数列。

由 Theorem 7.2，有界数列 $\lbrace a_n\rbrace$ 存在收敛子列。设

\[\begin{equation} a_{n_k}\to c. \end{equation}\]

下面证明整个数列 $\lbrace a_n\rbrace$ 都收敛到 $c$。

首先，对任意 $n\in\mathbb{N}$，都有 $a_n\le c$。否则若存在某个 $n_0$ 使得 $a_{n_0}>c$，则由 $\lbrace a_n\rbrace$ 单调递增知

\[\begin{equation} a_n\ge a_{n_0}>c,\qquad \forall n\ge n_0, \end{equation}\]

从而子列 $\lbrace a_{n_k}\rbrace$ 的充分后项都严格大于 $c$，不可能收敛到 $c$，矛盾。

任取 $\varepsilon>0$。由

\[\begin{equation} a_{n_k}\to c, \end{equation}\]

存在 $K\in\mathbb{N}$，使得当 $k\ge K$ 时，

\[\begin{equation} c-\varepsilon<a_{n_k}\le c. \end{equation}\]

由于 $\lbrace a_n\rbrace$ 单调递增，故当 $n\ge n_K$ 时，

\[\begin{equation} c-\varepsilon<a_{n_K}\le a_n\le c. \end{equation}\]

于是

\[\begin{equation} \vert a_n-c\vert =c-a_n<\varepsilon,\qquad \forall n\ge n_K. \end{equation}\]

因此

\[\begin{equation} a_n\to c. \end{equation}\]

再由

\[\begin{equation} 0\le b_n-a_n\to 0 \end{equation}\]

可得

\[\begin{equation} b_n\to c. \end{equation}\]

下面证明此 $c$ 就是分割点。

先证：若 $x<c$，则 $x\in A$。由于 $a_n\to c$，存在 $N$ 使得

\[\begin{equation} x<a_N\le c. \end{equation}\]

又 $a_N\in A$，而 $A$ 向下封闭，故 $x\in A$。

再证：若 $x>c$，则 $x\in B$。由于 $b_n\to c$，存在 $N$ 使得

\[\begin{equation} c\le b_N<x. \end{equation}\]

又 $b_N\in B$，而 $B$ 向上封闭，故 $x\in B$。

因此

\[\begin{equation} (-\infty,c)\subseteq A,\qquad (c,+\infty)\subseteq B. \end{equation}\]

又因 $A\cup B=\mathbb{R}$ 且 $A\cap B=\varnothing$，故必有且仅有一种情形成立：

• 若 $c\in A$，则

\[\begin{equation} \begin{aligned} A&=(-\infty,c]\\ B&=(c,+\infty). \end{aligned} \end{equation}\]

• 若 $c\in B$，则

\[\begin{equation} \begin{aligned} A&=(-\infty,c)\\ B&=[c,+\infty). \end{aligned} \end{equation}\]

最后证明唯一性。若另有 $d\in\mathbb{R}$ 也满足同样性质，且 $d\neq c$，不妨设 $c<d$。取

\[\begin{equation} x\in(c,d). \end{equation}\]

则由 $c$ 的分割形式可知 $x\in B$，而由 $d$ 的分割形式可知 $x\in A$，这与 $A\cap B=\varnothing$ 矛盾。故 $d=c$。

因此分割点唯一，Theorem 1 成立。

四、总结

我们完成了七个表述的等价性证明：

因此，这七个表述两两等价，它们从不同角度刻画了实数系的完备性。

表述	核心思想	典型应用
戴德金分割	实数轴无空隙	实数构造、理论基础
确界原理	有界集有确界	证明极限存在
单调有界原理	单调有界数列收敛	递推数列极限
区间套定理	嵌套闭区间有公共点	存在性证明
有限覆盖定理	闭区间紧性	连续函数性质
柯西收敛准则	柯西列收敛	级数收敛性
聚点定理	有界集有聚点	子列收敛性

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